Herzog

Herzog

• Kosten: 5
• Nutzen: Wert 1 Siegpunkt pro Herzogtum im eigenen Kartensatz.
• Kartentyp: Punkte

Ich habe Dominion in letzter Zeit sehr schätzen gelernt, da es meiner Meinung nach eine super Kombination aus Glück und Strategie ist. Die Strategie lässt sich in vielen Punkten wunderbar mathematisch analysieren, Wahrscheinlichkeitsrechnung kann man in vielen Bereichen sehr schön elementar anwenden. Das geht von einfachsten Dingen wie das Ziehen von zwei Schatzkarten in einem Stapel von fester Größe bis zur Auswertung ganzer Dominions nach dem Erwartungswert der aktuellen Kaufkraft pro Zug und dessen Schwächung durch den Erwerb von Punktekarten.
Ich möchte allerdings ein sehr schönes und hoffentlich auch anschauliches Beispiel aus dem Bereich Analysis schreiben. Vielleicht noch vorweg, ich bin kein Mathelehrer und kann das Spiel auch einfach so genießen, trotzdem machen solche Gedanken ab und zu Spaß.

Ich habe mir in einem Spiel mal die Frage gestellt, ob es besser sei ein Herzogtum (3 SP) oder einen Herzog zu kaufen (1 SP pro Herzogtum) Beides kostet mich dasselbe (5 GE). Am Anfang ist es noch recht einfach, klar kaufe ich erstmal Herzogtümer, alleine bringt der Herzog ja nichts. Aber ab welchem Punkt sollte man wechseln, und wie ist dann die beste Reihenfolge beim weiteren Kauf? Bei der Erklärung der Karte Herzog wird die Situation beschrieben, wenn ich 5 Herzogtümer und 5 Herzöge gekauft habe. Ich hoffe ich kann zeigen, dass man so was nie machen sollte. (Nicht böse gemeint gegenüber dem Autor) An dieser Stelle noch der Hinweis: Natürlich können andere Faktoren auch noch Einfluss haben, geht beispielsweise der Herzog Stapel als dritter dem Ende zu und ich will das Spiel noch länger laufen lassen, muss man vielleicht doch von der optimalen Punkteauswertung abweichen.

Hier also die Analyse der Herzog-Strategie, also die Antwort auf die Frage:
In welcher Reihenfolge kaufe ich Herzogtümer und Herzöge, um am Ende des Spieles die meisten Punkte aus diesen beiden Karten ziehen kann.

Stellen wir uns vor, das Spiel ist zu Ende und ich zähle die Punkte in meinem Stapel für diese beiden Karten.

Sei x die Anzahl meiner Herzogtümer und
Sei y die Anzahl meiner Herzöge.

Dann ergeben sich meine Punkt aus der Rechnung:

f(x,y) = 3x + xy

Begründung:
Pro Herzogtum bekomme ich 3 Punkte, also 3x. Für jeden Herzog bekomme ich so viele Punkte wie Herzogtümer, daher xy.
Zusammen ergibt das die Punktzahl, die ich mit f(x,y) bezeichne, da diese ja von x und y abhängt.

Beispiel:
Ich habe 5 Herzogtümer und 2 Herzöge. Also x = 5 und y = 2. Dann lauten meine Punkte:
f(5,2) = 3*5 + 5*2
Also habe ich 25 Punkte.

Für das weitere Vorgehen überlege ich mir, wie x und y noch zusammenhängen. Man sieht im obigen Beispiel leicht, dass die Summe der Anzahl der beiden Karten 7 war. Allgemeiner ausgedrückt:

Sei z die Summe der Anzahl der Herzogtümer gemeinsam mit den Herzögen. Dann ergibt sich die Nebenbedingung:

x + y = z

Natürlich müssen wir der Vollständigkeit halber festhalten, dass x und y nie größer als z sein können. Das wird unten aber noch mal gebraucht…
Das kann man natürlich auch nach y auflösen und erhält:

y = z – x

In Worten ist das nichts anderes als: die Anzahl meiner Herzöge ist gleich die Gesamtanzahl dieser beiden Karten weniger der Herzogtümer ( 2 = 7 – 5)
Wenn ich im folgendem „Gesamtzahl“ sage, meine ich immer die Anzahl von Herzogtümern mit den Herzögen und keine anderen Karten in meinem Stapel

Das y kann ich nun in meine Ausgangsgleichung durch (z-x) ersetzen und erhalte die folgende Funktion:

f(x,z) = 3x + x(z-x)

Diese ist nun also von der Gesamtanzahl und von der Anzahl der Herzogtümer abhängig.

Wir möchten ja wissen, wann die Punktzahl am größten ist. Daher müssen wir mit Extremwertaufgaben rechnen. Um ein Maximum bestimmen zu können brauchen wir die erste Ableitung der Funktion. Ableiten, und Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung, lernt man glaube ich in der Sek. II

Da wir den Anteil der Herzogtümer x in unsere Gesamtanzahl z wissen wollen, betrachten wir die Funktion erstmal nur in Abhängigkeit von x, also f(x). (Nicht zuhause nachmachen, das ist mathematisch etwas unrein). Von dieser bestimmen wir dann die Ableitung f ’(x). Zuerst formulieren wir aber noch etwas um:

Wir hatten:
f(x)       = 3x + x(z-x)
= 3x + zx – x^2
=-x^2 + x(3+z)

Daraus ergibt sich die erste Ableitung:

f ’(x) = -2x + 3 + z

Um einen Extremwert zu bekommen muss diese Ableitung gleich 0 gesetzt werden.

Also:
-2x + 3 + z = 0

Wir wollen wissen, wie hoch der Anteil der Herzogtümer x bei einer Gesamtanzahl von z Karten sein muss, um die meisten Punkte zu haben. Daher lösen wir die Gleichung nach x auf und erhalten:

x = (3 + z) / 2

Testen wir das ganze einmal an einem Beispiel:
Sagen wir, ich habe am Ende insgesamt 11 Karten bestehend aus Herzogtümern und Herzögen. Also ist z = 11. Mit der letzen Gleichung berechne ich die Anzahl der Herzogtümer x = (3 + 11) / 2, also x = 7. Die Anzahl der Herzöge y haben wir ja mit y = z – x also y = 4.

Wie viel Punkte ergeben sich daraus?
Nun, das war:
f(x,y)    = 3x + xy
= 3*7 + 7*4
= 49

Überlegen wir mal, wir hätten anstelle des letzten Herzogtums noch einen Herzog gekauft. Dann hätten wir bei unseren 11 Karten 6 Herzogtümer und 5 Herzöge. Das macht nur 48 Punkte.
Hätten wir andersrum einen Herzog mehr, so wären es auch 48 Punkte, das kann man leicht nachrechnen, per Hand oder mit der Formel.
Da wir mit 49 Punkten offensichtlich das Maximum getroffen haben, scheinen wir ja ganz gut gerechnet zu haben.

Was heißt das jetzt für unsere Strategie im Spiel? Wir wollen ja immer wissen was wir als nächstes kaufen müssen.
Dazu machen wir uns einfach mal eine Wertetabelle, es geht auch eleganter, aber für unsere Zwecke reicht es.

In einer Bemerkung oben hatten wir gesagt, dass x nicht größer sein kann als z. Daher können wir die Gleichung erst ab z = 3 betrachten. Für z = 1 und z = 2 ist es aber ganz einfach. Natürlich kaufe ich zuerst 2 Herzogtümer, jeder kann ausrechnen, dass das mehr Punkte am Anfang bringt als ein Herzog.
Ab der dritten Karte wird es aber interessant:
Wir nehmen also unsere letzte Gleichung x = (3 + z) / 2 und bekommen:

z = 3 -> x = 3
z = 4 -> x = 3,5
z = 5 -> x = 4
z = 6 -> x = 4,5
z = 7 -> x = 5
z = 8 -> x = 5,5
z = 9 -> x = 6
z = 10 -> x = 6,5
z = 11 -> x = 7
…
(Die letzte angegebene Teile ist wieder das Beispiel: 11 Karten, davon 7 Herzogtümer und natürlich 4 Herzöge)

Jetzt denkt man aber z.B. bei z = 6: Wie soll ich denn 4,5 Herzogtümer kaufen? Die Interpretation ist ganz einfach:
Stehe ich noch bei z = 5 Karten, sollten 4 davon Herzogtümer sein (und eine also ein Herzog)
Bei der 6. Karte ist es erstmal egal, ob ich eine Herzogtum oder einen Herzog kaufe, die Punktzahl ist dieselbe (kann man leicht ausrechnen) Bei der 7. Karte sollte ich aber wieder 5 Herzogtümer und daraus folgende 2 Herzöge haben.

Man sieht schnell, dass das Maximum linear steigt, es ist also eine Gerade, das konnte man auch schon aus der Maximumsgleichung sehen.

Daher die vielleicht etwas unspektakuläre Antwort auf die oben gestellte Frage:

Frage:
In welcher Reihenfolge kaufe ich Herzogtümer und Herzöge, um am Ende des Spieles die meisten Punkte aus diesen beiden Karten ziehen kann.

Antwort:
Am Anfang muss man 3 Herzogtümer kaufen. Danach kann immer im Wechsel ein Herzogtum und ein Herzog gekauft werden. Ist die Differenz wischen den beiden Karten genau 3, kann man auch noch mal das gleiche kaufen wie beim letzten Mal, danach muss aber wieder ein Wechsel erfolgen.
Das einfachste ist aber:
Ab der 4. Karte immer abwechselnd kaufen, damit macht man nichts falsch und erhält das Maximum an Punkten (für diese beiden Karten), wann immer das Spiel beendet ist.

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Der Herzog ist mit den Gärten aus dem Dominion “Basisspiel” zu vergleichen. Es ist eine reine Punktekarte und nur stark, wenn man sein Spiel und natürlich sein Deck an ihr ausrichtet. Stellt man sich dabei geschickt genug an, kann mit dem Herzog das Spiel für sich entscheiden.

Durch den Herzog erhält man einen Siegpunkt pro Herzogtum aus dem eigenen Deck. Ein Herzog ist also nur dann zu gebrauchen, wenn ich auch Herzogtümer eingekauft habe.

Ähnlich wie bei der Gärten-Strategie, bei der man die Gärten so oft wie möglich kauft, ist hier das Ziel möglichst viele Herzogtümer zu kaufen. Umso später die Mitspieler etwas von der Strategie mitbekommen, desto höher sind die Chancen zum Sieg. Hat der Gegner notiz von der Herzog-Strategie genommen, so wird er gegensteuern und ebenfalls Herzogtümer kaufen. Unternimmt der Gegner nichts gegen die Strategie, so wird er nur noch schwer gewinnen können.

Natürlich reichen Herzogtümer nicht für die Herzog-Startegie aus. Der Herzog ansich will schließlich auch noch gekauft werden – und zwar am besten so oft wie möglich. Gehe ich davon aus, dass ich 5 Herzogtümer und 5 Herzöge kaufe, so habe ich 5 x 3 Punkte =15 Punkte durch die Herzogtümer und 5 x 5 = 25 Punkte durch die Herzöge, da jeder Herzog pro Herzugtum einen Siegpunkt bringt – bei 5 Herzogtümern also 5 Punkte. Insgesamt habe ich also schon 40 Punkte gesammelt. Hinzu kommen evetuelle Anwesen oder gar Provinzen.

Bei 5 Herzogtümern erhalte ich also 5 Siegpunkte für die Kosten von 5 GE für den Herzog. Genau das macht den Herzog so stark. Sollte man sogar noch mehr Herzogtümer ergattern (da wirds allerdings auch unwahrscheinlich), so ist es relativ gesehen die wertvollste Punktekarte.

Der Herzog kann also eine sehr starke Karte sein, er kann einem aber auch eine Niederlage einbringen. 5 Herzogtümer und 5 Herzöge kosten immerhin 50 GE (10 x 5 GE). Dafür benötigt man relativ viel Kaufkraft. Am Anfang vielleicht nicht sehr schwer, aber je mehr Punktekarten sich im Deck verteilen, desto schwieriger wird es auch die 5 GE zu erreichen – kennen wir ja von dem Gärten-Deck.

Die Stärke des Gegners spielt eine weitere richtige Rolle. Der Herzog sollte also nicht wahllos gekauft werden, sobald er zur Verfügung steht. Wie immer gilt auch hier: sorgfältig überlegen und dann erst kaufen!